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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
c) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

Tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero:

x2+1 >0x^2 + 1  > 0

Esto se cumple siempre. Por lo tanto, el dominio de ff es R\mathbb{R}.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=1x2+1⋅2x= 2xx2+1 f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}

Aclaración: Como x2+1x^2 + 1 nunca vale cero, ese denominador nunca se anula y el dominio de f′(x)f'(x) sigue siendo todos los reales.

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

2xx2+1=0 \frac{2x}{x^2 + 1} = 0

2x=02x = 0

x=0x = 0

Por lo tanto, el único punto crítico de ff es x=0x=0

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,0)  (-\infty, 0)  
b)   (0,+∞)   (0, +\infty)  

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En (−∞,0)⇒f′(x)<0→(-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto ff es decreciente

En (0,+∞)⇒f′(x)>0→(0, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto ff es creciente

Intervalo de crecimiento: (0,+∞)(0, +\infty)
Intervalo de decrecimiento: (−∞,0)(-\infty, 0)

El punto crítico x=0x=0 resultó ser un mínimo de ff.
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